Question

已知函数对任意都满足，且，数列满足：，.
（Ⅰ）求及的值;
（Ⅱ）求数列的通项公式;
（Ⅲ）若，试问数列是否存在最大项和最小项？若存在，求出最大项和最小项；若不存在，请说明理由.

Answer 1

（Ⅰ）,,（Ⅱ）,（Ⅲ）当，即时，的最大项为.当，即时，的最小项为.

试题分析：（Ⅰ）对应抽象函数，一般方法为赋值法. 在中，取，得，在中，取，得，（Ⅱ）在中，令，，得，即.所以是等差数列，公差为2，又首项，所以,.（Ⅲ）研究数列是否存在最大项和最小项，关键看通项公式的特征.令，则，显然，又因为，所以当，即时，的最大项为.当，即时，的最小项为
解：（Ⅰ）在中，取，得，
在中，取，得，    2分
（Ⅱ）在中，令，，
得，即.
所以是等差数列，公差为2，又首项，所以,.          6分
（Ⅲ）数列存在最大项和最小项
令，则，
显然，又因为，
所以当，即时，的最大项为.
当，即时，的最小项为.    13分