Question

2．已知函数f（x）=log_ax+b（a＞0，a≠1）的定义域、值域都是[1，2]，则a+b=$\frac{5}{2}$或3．

Answer 1

分析 分类讨论a的取值范围，得到函数单调性，代入数据即可求解．

解答 解：当0＜a＜1时，易知函数f（x）为减函数，
由题意有$\left\{\begin{array}{l}{f（1）=b=2}\\{f（2）=lo{g}_{a}2+b=1}\end{array}\right.$解得：a=$\frac{1}{2}$，b=2，符合题意，此时a+b=$\frac{5}{2}$；
当a＞1时，易知函数为增函数，由题意有$\left\{\begin{array}{l}{f（1）=b=1}\\{f（2）=lo{g}_{a}2+b=2}\end{array}\right.$，
解得：a=2，b=1，符合题意，此时a+b=3．
综上可得：a+b的值为$\frac{5}{2}$或3．
故答案为：$\frac{5}{2}$或3．

点评 本题考查对数函数的性质以及分类讨论的思想方法．分类讨论函数的单调性是正确解决本题关键．属于易错题．