Question

13．在数列{a_n}中，a₁=1a_n+1=$\frac{2（n+1）}{n}{a_n}$，n∈N*．
（1）求证数列$\left\{{\frac{a_n}{n}}\right\}$为等比数列．
（2）求数列{a_n}的前n项和S_n．

Answer 1

分析 （1）直接把已知数列递推式变形可得$\frac{{\frac{{{a_{n+1}}}}{n+1}}}{{\frac{a_n}{n}}}=2$，即$\left\{{\frac{a_n}{n}}\right\}$是首项为1，公比为2的等比数列；
（2）由（1）求出数列{a_n}的通项公式，再由错位相减法求数列{a_n}的前n项和S_n．

解答 （1）证明：由${a_{n+1}}=\frac{2（n+1）}{n}{a_n}$，得$\frac{{\frac{{{a_{n+1}}}}{n+1}}}{{\frac{a_n}{n}}}=2$，
又$\frac{{a}_{1}}{1}=1≠0$，
∴$\left\{{\frac{a_n}{n}}\right\}$是首项为1，公比为2的等比数列；
（2）解：由（1）知，$\left\{{\frac{a_n}{n}}\right\}$是首项为1，公比为2的等比数列，
∴$\frac{a_n}{n}={2^{n-1}}$，则${a_n}={2^{n-1}}•n$，
则${S_n}=1+2•2+3•{2^2}+n•{2^{n-1}}$，
$2{S_n}=2+2•{2^2}+$…+（n-1）•2^n-1+n•2ⁿ，
两式作差得：-Sn=1+2+2²+2^n-1-n•2ⁿ=2ⁿ-1-n•2ⁿ=（1-n）•2ⁿ-1，
∴${S_n}=（n-1）•{2^n}+1$．

点评 本题考查数列递推式，考查了等比关系的确定，训练了错位相减法求数列的前n项和，是中档题．