Question

如图，在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，A₁A=AC，D，E，F分别为线段AC，A₁A，C₁B的中点．
（1）证明：EF∥平面ABC；
（2）证明：C₁E⊥平面BDE．

Answer 1

【答案】分析：（1）取BC的中点G，连接AG，FG，利用三角形的中位线定理即可得出．利用三棱柱的性质可得，再利用平行四边形的判定和性质定理及线面平行的判定定理即可得出；
（2）利用面面垂直的性质即可得出BD⊥侧面ACC₁A₁．利用相似三角形的判定和性质即可得出，再利用线面垂直的性质定理即可证明．
解答：证明：（1）如图所示，取BC的中点G，连接AG，FG．
又∵F为C₁B的中点，∴．
在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，，E为A₁A的中点，
∴，
∴四边形AEFG是平行四边形．
∴EF∥AG．
∵EF?平面ABC，AG?平面ABC，
∴EF∥平面ABC．
（2）∵点D是正△ABC的BC边的中点，∴BD⊥AC，
由正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，可得侧面ACC₁A₁⊥平面ABC，∴BD⊥侧面ACC₁A₁．
∴BD⊥C₁E．
∵，
∴Rt△A₁C₁E∽Rt△AED，
∴∠A₁EC₁=∠ADE．
∴，
∴C₁E⊥ED．
∵ED∩DB=D．
∴C₁E⊥平面BDE．
点评：熟练掌握三角形的中位线定理、直三棱柱的性质可得、平行四边形的判定和性质定理、线面平行与垂直的判定定理、面面垂直的性质、相似三角形的判定和性质是解题的关键．