Question

如图，F₁、F₂为椭圆的左右焦点，P为椭圆上一点，且位于x轴上方，过点P作x轴的平行线交椭圆右准线于点M，连接MF₂，
（1）若存在点P，使PF₁F₂M为平行四边形，求椭圆的离心率e的取值范围；
（2）若存在点P，使PF₁F₂M为菱形；
①求椭圆的离心率；
②设A（a，0）、B（0，b），求证：以F₁A为直径的圆经过点B．

Answer 1

【答案】分析：（1）先设P（x，y），利用椭圆的几何性质及平行四边形的性质得出P点横坐标的表达式，再结合椭圆的范围得出关于a，c的不等关系，即可求出椭圆的离心率e的取值范围；
（2）①根据椭圆的两种定义方法，构造关于离心率的关系式，即可求出答案；
②先写出以F₁A为直径的圆方程，再证B（0，b）满足方程即可．
解答：解：（1）设P（x，y），则，
∵|PM|=|F₁F₂|=2c，
∴，
由；
（2）①，，
∵0＜e＜1，∴；
②以F₁A为直径的圆方程为（x+c）（x-a）+y²=0，
下证B（0，b）满足方程，即-ac+b²=0…（*），
∵e²+e-1=0，
∴c²+ac-a²=0，
∴ac=a²-c²=b²，∴（*）成立，
∴以F₁A为直径的圆经过点B．
点评：本题考查了椭圆的标准方程，考查了直线和圆锥曲线的关系，考查了学生的运算能力．属中档题．