Question

设△ABC的内角A，B，C的内角对边分别为a，b，c，满足（a+b+c）（a-b+c）=ac
（I）求B
（II）若sinAsinC=

3 -1

4

，求C．

Answer 1

分析：（I）已知等式左边利用多项式乘多项式法则计算，整理后得到关系式，利用余弦定理表示出cosB，将关系式代入求出cosB的值，由B为三角形的内角，利用特殊角的三角函数值即可求出B的度数；
（II）由（I）得到A+C的度数，利用两角和与差的余弦函数公式化简cos（A-C），变形后将cos（A+C）及2sinAsinC的值代入求出cos（A-C）的值，利用特殊角的三角函数值求出A-C的值，与A+C的值联立即可求出C的度数．

解答：解：（I）∵（a+b+c）（a-b+c）=（a+c）²-b²=ac，
∴a²+c²-b²=-ac，
∴cosB=

a2+c2-b2

2ac

=-

1

2

，
又B为三角形的内角，
则B=120°；
（II）由（I）得：A+C=60°，∵sinAsinC=

3 -1

4

，cos（A+C）=

1

2

，
∴cos（A-C）=cosAcosC+sinAsinC=cosAcosC-sinAsinC+2sinAsinC=cos（A+C）+2sinAsinC=

1

2

+2×

3 -1

4

=

3

2

，
∴A-C=30°或A-C=-30°，
则C=15°或C=45°．

点评：此题考查了余弦定理，两角和与差的余弦函数公式，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握余弦定理是解本题的关键．