Question

【题目】已知各项均为正数的数列的前n项和为，，且对任意n，恒成立.

（1）求证：数列是等差数列，并求数列的通项公式；

（2）设，已知，，(2＜i＜j)成等差数列，求正整数i，j.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）i＝4，j＝5

【解析】

（1）根据题目所给递推关系式证得数列是等差数列，由此得到.利用求得数列的通项公式.

（2）由（1）求得的表达式，由成等差数列列方程，分成和两种情况进行分类讨论，由此求得整数.

（1）∵，

∴，

∵数列各项均为正数，∴，等式两边同时除以，

得，故数列是等差数列，首项为2，公差为0，

∴，即①，，求得，

∴(n≥2)②，①﹣②得，即，

又，∴对任意n，数列是以2为首项，2为公比的等比数列

故数列的通项公式为；

（2），

∴，，，

∵，，(2＜i＜j)成等差数列，

∴，

变形得(*)，

①当时，，

令(i≥3)，则(i≥3)，

∴数列单调递减，故，

∴，，故时*式不成立，

②当时，*式转化为，解得i＝4，故j＝5.