Question

20．已知p={x|x²-3x-18≤0}，S={x||x-2|≤m-1}
（1）若（P∪S）⊆P，求实数m的取值范围；
 （2）是否存在实数m，使得“x∈P”是“x∈S”的充要条件，若存在，求出m的取值范围，若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）先求出集合P={x|-3≤x≤6}，S={x|-m+3≤x≤m+1}，从而由（P∪S）⊆P便得到$\left\{\begin{array}{l}{-m+3≥-3}\\{m+1≤6}\end{array}\right.$，这样解不等式组即得实数m的取值范围；
（2）若存在实数m，使得“x∈P”是“x∈S”的充要条件，则有$\left\{\begin{array}{l}{-3=-m+3}\\{6=m+1}\end{array}\right.$，显然该方程组无解，从而这样的m不存在．

解答 解：（1）P={x|-3≤x≤6}，S={x|-m+3≤x≤m+1}；
∵（P∪S）⊆P；
∴$\left\{\begin{array}{l}{-m+3≥-3}\\{m+1≤6}\end{array}\right.$；
解得m≤5；
∴实数m的取值范围为：（-∞，5]；
（2）若“x∈P”是“x∈S”的充要条件，则：P=S；
∴$\left\{\begin{array}{l}{-3=-m+3}\\{6=m+1}\end{array}\right.$；
该方程组无解；
∴不存在实数m，使得“x∈P”是“x∈S”的充要条件．

点评 考查描述法表示集合，一元二次不等式及绝对值不等式的解法，能进行并集的运算，以及子集、充要条件的概念．