题目内容

13、已知函数g（x）=|x-1|-|x-2|，（x∈R），若关于x的不等式g（x）≤a恒成立，则实数a的取值范围是
a≥1
．
分析：首先已知g（x）=|x-1|-|x-2|∈[-1，1]，且g（x）≤a恒成立，则可以求出g（x）的最大值，使得a大于最大值即可．在求函数g（x）的最大值的时候，需要分类讨论去绝对值号求解．
解答：解：已知函数g（x）=|x-1|-|x-2|．
当x＞2时，g（x）=x-1-（x-2）=1．
当x＜1时，g（x）=1-x-（2-x）=-1
当1＜x＜2时，g（x）=x-1-（2-x）=2x-3，-1＜g（x）=2x-3＜1．
故-1≤g（x）≤1．要使关于x的不等式g（x）≤a恒成立．故a≥1．
故答案为a≥1．
点评：此题主要考查恒成立的问题，其中涉及到绝对值不等式的求解，计算量小属于基础题型．
练习册系列答案
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设f（x）是定义在区间（1，+∞）上的函数，其导函数为f′（x）．如果存在实数a和函数h（x），其中h（x）对任意的x∈（1，+∞）都有h（x）＞0，使得f′（x）=h（x）（x2-ax+1），则称函数f（x）具有性质P（a），设函数f（x）=lnx+
b+2x+1
(x＞1)，其中b为实数．
（1）①求证：函数f（x）具有性质P（b）；
②求函数f（x）的单调区间．
（2）已知函数g（x）具有性质P（2），给定x1，x2∈（1，+∞），x1＜x2，设m为实数，α=mx1+（1-m）x2，β=（1-m）x1+mx2，α＞1，β＞1，若|g（α）-g（β）|＜|g（x1）-g（x2）|，求m的取值范围．
已知二次函数f（x）的图象与坐标轴分别交于点（1，0）、（3，0）、（0，2）．
（Ⅰ）求f（x）的表达式；
（Ⅱ）已知函数g（x）=log2x的定义域为{x|f（x）＜2}，求函数g（x）的值域．
已知函数g（x+2）=2x-3，则函数g（x）=
2x-7
2x-7
．
已知函数g（x）=asinx+bcosx+c
（1）当b=0时，求g（x）的值域；
（2）当a=1，c=0时，函数g（x）的图象关于x=
5π
3
对称，求函数y=bsinx+acosx的对称轴．
（3）若g（x）图象上有一个最低点(
11π
6
，1)，如果图象上每点纵坐标不变，横坐标缩短到原来的
3
π
倍，然后向左平移1个单位可得y=f（x）的图象，又知f（x）=3的所有正根从小到大依次为x1，x2，x3，…，xn，…，且xn-xn-1=3（n≥2），求f（x）的解析式．
（2013•成都模拟）若函数f（x）满足：在定义域内存在实数x0，使f（x0+k）=f（x0）+f（k）（k为常数），则称“f（x）关于k可线性分解”
（1）函数f（x）=2x+x2是否关于1可线性分解？请说明理由；
（2）已知函数g（x）=lnx-ax+1（a＞0）关于a可线性分解，求a的范围；
（3）在（2）的条件下，当a取最小整数时，求g（x）的单调区间．

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