Question

【题目】已知函数f（x）= ﹣2x+1． （Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）当0＜a≤ 时，求函数f（x）在区间[﹣a，a]上的最大值．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）由 得f'（x）=x2+x﹣2=（x+1）（x﹣2），

令f'（x）=0，得x1=﹣2，x2=1，f（x），f'（x）的情况如下表：

x	（﹣∞，﹣2）	﹣2	（﹣2，1）	1	（1，+∞）
f'（x）	+	0	﹣	0	+
f（x）	↗	极大	↘	极小	↗

所以函数f（x）的单调增区间为（﹣∞，﹣2），（1，+∞），单调减区间为（﹣2，1）．

（Ⅱ）由 可得 ．

当﹣a＜﹣2即 时，由（Ⅰ）可得f（x）在[﹣a，﹣2）和（1，a]上单调递增，在（﹣2，1）上单调递减，

所以，函数f（x）在区间[﹣a，a]上的最大值为max{f（﹣2），f（a）}，

又由（Ⅰ）可知 ，

所以 ；

当﹣a≥﹣2，a≤1，即0＜a≤1时，由（Ⅰ）可得f（x）在[﹣a，a]上单调递减，f（x）在[﹣a，a]上的最大值为 ．

当﹣2≤﹣a，a＞1，即1＜a≤2时，由（Ⅰ）可得f（x）在[﹣a，1）上单调递减，在（1，a]上单调递增，

所以，函数f（x）在区间[﹣a，a]上的最大值为max{f（﹣a），f（a）}，

法1：因为 ，

所以 ．

法2：因为﹣2≤﹣a＜﹣1，1＜a≤2

所以由（Ⅰ）可知 ， ，

所以f（﹣a）＞f（a），

所以 ．

法3：设 ，则g'（x）=﹣2x2+4，g（x），g'（x）的在[1，2]上的情况如下表：

x	1				2
f'（x）		+	0	﹣
f（x）		↗	极大	↘

所以，当0＜x＜2时，g（x）＞g（0）=0，

所以g（a）=f（﹣a）﹣f（a）＞0，即f（﹣a）＞f（a）

所以max{f（﹣a），f（a）}=f（﹣a）= ．

综上讨论，可知：

当 时，函数f（x）在区间[﹣a，a]上的最大值为 ；

当0＜a＜2时，函数f（x）在区间[﹣a，a]上的最大值为

【解析】（Ⅰ）由 ，得f'（x）=x2+x﹣2=（x+1）（x﹣2），令f'（x）=0，得x1=﹣2，x2=1，f（x），f'（x）的情况列表讨论，能求出函数f（x）的单调区间．（Ⅱ）由 ，得 ．求出函数f（x）在区间[﹣a，a]上的最大值为max{f（﹣2），f（a）}，由 ，知 ；再求出函数f（x）在区间[﹣a，a]上的最大值为max{f（﹣a），f（a）}，max{f（﹣a），f（a）}=f（﹣a）= ．由此能求出函数f（x）在区间[﹣a，a]上的最大值．
【考点精析】通过灵活运用利用导数研究函数的单调性和函数的最大(小)值与导数，掌握一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系： 在某个区间内，(1)如果，那么函数在这个区间单调递增；(2)如果，那么函数在这个区间单调递减；求函数在上的最大值与最小值的步骤：（1）求函数在内的极值；（2）将函数的各极值与端点处的函数值，比较，其中最大的是一个最大值，最小的是最小值即可以解答此题．