题目内容

设P在正三角形ABC所在平面外，且AP，BP，CP两两垂直；又G是△PBO的重心；E为BC上一点，BE=BC；F为PB上一点，PF=PB；AP=BP=CP(如图)

(1)求证：GF⊥平面PBC；

(2)求证：EF⊥BC.

解析：(1)连结BG并延长交PA于M，G为△ABP的重心

(2)取CQ=BC，又已知PF=PB，

故FQ∥PC

.

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在正三角形ABC中，E、F、P分别是AB、AC、BC边上的点，满足AE：EB=CF：FA=CP：PB=1：2（如图1）．将△AEF、△CFP分别沿EF、PF折起到△A₁EF和△C₁FP的位置，使二面角A₁-EF-B和C₁-PF-B均成直二面角，连结A₁B、A₁P、EC₁（如图2）
（1）求证：A₁E⊥平面BEP；
（2）设正△ABC的边长为3，以

为正交基底，建立空间直角坐标系．
①求点C₁的坐标；
②直线EC₁与平面C₁PF所成角的大小；
③求二面角B-A₁P-F的余弦值．

设P点在正三角形ABC所在平面外，且AP，BP，CP两两垂直；又G是△ABP的重心；E为BC上一点，；F为PB上一点，；AP＝BP＝CP，如图

(1)求证：GF⊥平面PBC；

(2)求证：EF⊥BC．

设P在正三角形ABC所在平面外，且AP，BP，CP两两垂直；又G是△PBO的重心；E为BC上一点，BE=BC；F为PB上一点，PF=PB；AP=BP=CP(如图)

(1)求证：GF⊥平面PBC；

(2)求证：EF⊥BC.

如图1，在正三角形ABC中，已知AB=5，E、F、P分别是AB、AC、BC边上的点，设 $数学公式$ ，将△ABC沿EF折起到△A₁EF的位置，使二面角A₁-EF-B的大小为 $数学公式$ ，连接A₁B、A₁P（如图2）．
（1）求证：PF∥平面A₁EB；
（2）若EF⊥平面A₁EB，求x的值；
（3）当EF⊥平面A₁EB时，求平面A₁BP与平面A₁EF所成锐二面角的余弦值．