Question

设函数f（x）=-

1

3

x³+2ax²-3a²x+b，0＜a＜1．
（1）求函数f（x）的单调区间、极值；
（2）若x∈[0，3a]，试求函数f（x）的最值．

Answer 1

（1）f′（x）=-x²+4ax-3a²．令f′（x）=0，解得x=a或x=3a，列表：

x	（-∞，a）	a	（a，3a）	3a	（3a，+∞）
f′（x）	-	0	+	0	-
f（x）	递减	- 4 3 a3+b	递增	b	递减

由表可知：当x∈（-∞，a）时，函数f（x）为减函数；当x∈（3a，+∞）时，函数f（x）也为减函数；当x∈（a，3a）时，函数f（x）为增函数．
∴函数f（x）的单调减区间为（-∞，a），（3a，+∞），单调增区间为（a，3a）．当x=a时，f（x）的极小值为-

4

3

a³+b；当x=3a时，f（x）的极大值为b．
（2）x∈[0，3a]，列表如下：

x	0	（0，a）	a	（a，3a）	3a
f′（x）		-	0	+	0
f（x）	b	递减	- 4 3 a3+b	递增	b

由表知：当x∈（0，a）时，函数f（x）为减函数；当x∈（a，3a）时，函数f（x）为增函数．
∴当x=a时，f（x）的最小值为-

4

3

a³+b；当x=0或x=3a时，f（x）的最大值为b．