Question

在△ABC中，a、b、c分别为内角A、B、C的对边，已知a=

2

bsin（C+

π

4

）．
（1）若△ABC的外接圆半径R=2

2

，求b；
（2）若△ABC的面积为

2

，求b的最小值．

Answer 1

考点：正弦定理,余弦定理

专题：计算题,三角函数的求值,解三角形,不等式的解法及应用

分析：（1）运用两角和的正弦公式和正弦定理，即可得到b；
（2）运用三角形的面积公式和余弦定理，结合重要不等式：a²+c²≥2ac，即可得到b的最小值．

解答： 解：（1）a=

2

bsin（C+

π

4

）=

2

b（

2

2

sinC+

2

2

cosC）
=b（sinC+cosC），
由正弦定理，可得，sinA=sinB（sinC+cosC），
sin（B+C）=sinBcosC+cosBsinC=sinBsinC+sinBcosC，
cosB=sinB，即tanB=1，0＜B＜π，
则B=

π

4

，由正弦定理可得，
b=2RsinB=4

2

×

2

2

=4；
（2）△ABC的面积为

2

，则S=

1

2

acsinB=

1

2

×

2

2

ac=

2

，
则ac=4，由余弦定理，可得b²=a²+c²-2accosB
≥2ac-

2

ac=（2-

2

）ac，
则b≥2

2- 2

．
当且仅当a=c=2时，b的最小值为2

2- 2

．

点评：本题考查正弦定理、余弦定理和面积公式的运用，考查两角和的正弦公式和基本不等式的运用，考查运算能力，属于中档题．