Question

如图，在平面直角坐标系xOy中，点A在x轴正半轴上，直线AB的倾斜角为

3π

4

，|OB|=2，设∠AOB=θ， θ∈(

π

2

，

3π

4

)．
（Ⅰ）用θ表示点B的坐标及|OA|；
（Ⅱ）若tanθ=-

4

3

，求

OA

•

OB

的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由三角函数的定义，得点B的坐标；在△AOB中利用正弦定理求出|OA|长．
（Ⅱ）利用向量的数量积公式等于向量的模乘以它们的夹角余弦乘积及三角函数的诱导公式求出．

解答：（Ⅰ）解：由三角函数的定义，得点B的坐标
为（2cosθ，2sinθ）．
在△AOB中，|OB|=2，∠BAO=

π

4

， ∠B=π-

π

4

-θ=

3π

4

-θ，
由正弦定理，得

|OB|

sin π 4

=

|OA|

sin∠B

，
即

2

2 2

=

|OA|

sin( 3π 4 -θ)

，
所以|OA|=2

2

sin(

3π

4

-θ)．

（Ⅱ）解：由（Ⅰ）得

OA

•

OB

=|

OA

|•|

OB

|•cosθ=4

2

sin(

3π

4

-θ)•cosθ，
因为tanθ=-

4

3

， θ∈(

π

2

，

3π

4

)，
所以sinθ=

4

5

， cosθ=-

3

5

，
又sin(

3π

4

-θ)=sin

3π

4

•cosθ-cos

3π

4

•sinθ
=

2

2

•(-

3

5

)-(-

2

2

)•

4

5

=

2

10

，
所以

OA

•

OB

=4

2

•

2

10

•(-

3

5

)=-

12

25

．

点评：本题考查三角函数的定义；考查三角函数的正弦定理；考查向量的数量积；考查三角函数的诱导公式．