Question

 

Answer 1

解析、解法一:(1)证明:取PC中点M,连结ME、MF,则MF∥CD,MF=CD．

又AE∥CD,AE=CD,    ∴AE∥MF且AE=MF.

∴四边形AFME是平行四边形.∴AF∥EM.

∵AF平面PCE,   ∴AF∥平面PCE.        4分

(2)解:∵PA⊥平面AC,CD⊥AD,

∴CD⊥PD．  ∴∠PDA是二面角P―CD―B的平面角,即∠PDA=45°.

∴△PAD是等腰直角三角形.

∴AF⊥PD．又AF⊥CD,

∴AF⊥平面PCD,而EM∥AF,

∴EM⊥平面PCD．    又EM平面PEC,

∴面PEC⊥面PCD．

在平面PCD内过F作FH⊥PC于H,则FH就是点F到平面PCE的距离.

由已知,PD=2,PF=,PC=,△PFH∽△PCD,

∴=.     ∴FH=.                                           8分

(3)解:∵PA⊥平面ABCD,

∴AC是PC在底面上的射影.   ∴∠PCA就是PC与底面所成的角.

由(2)知PA=2,PC=,   ∴sin∠PCA==,

即PC与底面所成的角是arcsin.                                  12分

解法二：(1)证明:取PC中点M,连结EM,

∵=+=+=+(+)=++

=+ +=,

∴AF∥EM.又EM平面PEC,AF平面PEC,

∴AF∥平面PEC．                     4分

(2)解:以A为坐标原点,分别以、、所在直线为x、y、z轴建立坐标系.

∵PA⊥平面AC,CD⊥AD,    ∴CD⊥PD．

∴∠PDA是二面角P―CD―B的平面角,即∠PDA=45°.

∴A(0,0,0)、P(0,0,2)、D(0,2,0)、F(0,1,1)、E(,0,0)、C(3,2,0).

设平面PCE的法向量为n=(x,y,z),则n⊥,n⊥,而=(－,0,2),=(,2,0),

∴－x+2z=0,且x+2y=0.     解得y=－x   ,z=x.

取x=4,得n=(4,－3,3).

又=(0,1,－1),故点F到平面PCE的距离为

d===.            8分

(3)解:   ∵PA⊥平面ABCD,   ∴AC是PC在底面上的射影.

∴∠PCA就是PC与底面所成的角.=(－3,－2,0),=(－3,－2,2).

∴cos∠PCA==,    sin∠PCA==,

即PC与底面所成的角是arccos.              12分