Question

4．如图，n+1个上底、两腰皆为1，下底长为2的等腰梯形的下底均在同一直线上，设四边形P₁M₁N₁N₂的面积为S₁，四边形P₂M₂N₂N₃的面积为S₂，…，四边形P_nM_nN_nN_n+1的面积为S_n，通过逐一计算S₁，S₂，…，可得S_n=$\frac{3\sqrt{3}}{4}-\frac{\sqrt{3}}{8n+4}$．

Answer 1

分析 如图所示，已知梯形AN₁BC中，分别过点B，C，作BE⊥AN₁，CF⊥AN₁，垂足分别为E，F．四边形BCFE为矩形，EF=BC=1．可得：AF=N₁E=$\frac{1}{2}$，∠A=∠BN₁E=60°．∠ACB=∠CBN₁=120°．又P₁Q₁∥AN₁，可得△P₁Q₁M₁∽△AN₁M₁，$\frac{{Q}_{1}{M}_{1}}{{M}_{1}{N}_{1}}$=$\frac{{P}_{1}{Q}_{1}}{A{N}_{1}}$=$\frac{1}{2}$，S△P₁Q₁M₁=$\frac{1}{2}{P}_{1}{Q}_{1}•{Q}_{1}{M}_{1}$sin120°=$\frac{\sqrt{3}}{12}$.${S}_{梯形A{N}_{1}{B}_{1}{C}_{1}}$=$\frac{3\sqrt{3}}{4}$．可得S₁=${S}_{梯形A{N}_{1}{B}_{1}{C}_{1}}$-${S}_{△{P}_{1}{Q}_{1}{M}_{1}}$=$\frac{3\sqrt{3}}{4}$-$\frac{\sqrt{3}}{12}$=$\frac{2}{3}\sqrt{3}$．由于$\frac{{P}_{n}{Q}_{n}}{A{N}_{n}}=\frac{{Q}_{n}{M}_{n}}{{N}_{n}{M}_{n}}$=$\frac{1}{2n}$，可得Q_nM_n=$\frac{1}{2n+1}$．同理可得$\frac{{S}_{△{P}_{1+n}{Q}_{n+1}{M}_{n+1}}}{{S}_{△{P}_{n}{Q}_{n}{M}_{n}}}$=$\frac{{Q}_{n+1}{M}_{n+1}}{{Q}_{n}{M}_{n}}$=$\frac{2n+1}{2n+3}$．
即可得出．

解答 解：如图所示，
已知梯形AN₁BC中，分别过点B，C，作BE⊥AN₁，CF⊥AN₁，垂足分别为E，F．
∴四边形BCFE为矩形，EF=BC=1．
Rt△ACF≌Rt△N₁BE．
∴AF=N₁E=$\frac{1}{2}$，∴∠A=∠BN₁E=60°．
∠ACB=∠CBN₁=120°．
又P₁Q₁∥AN₁，∴△P₁Q₁M₁∽△AN₁M₁，
∴$\frac{{Q}_{1}{M}_{1}}{{M}_{1}{N}_{1}}$=$\frac{{P}_{1}{Q}_{1}}{A{N}_{1}}$=$\frac{1}{2}$，
∴S△P₁Q₁M₁=$\frac{1}{2}{P}_{1}{Q}_{1}•{Q}_{1}{M}_{1}$sin120°=$\frac{1}{2}×\frac{1}{3}×1×sin12{0}^{°}$=$\frac{\sqrt{3}}{12}$．
∴${S}_{梯形A{N}_{1}{B}_{1}{C}_{1}}$=$\frac{\frac{\sqrt{3}}{2}×（1+2）}{2}$=$\frac{3\sqrt{3}}{4}$．
∴S₁=${S}_{梯形A{N}_{1}{B}_{1}{C}_{1}}$-${S}_{△{P}_{1}{Q}_{1}{M}_{1}}$=$\frac{3\sqrt{3}}{4}$-$\frac{\sqrt{3}}{12}$=$\frac{2}{3}\sqrt{3}$．
同理可得${S}_{△{P}_{2}{Q}_{2}{M}_{2}}$=$\frac{1}{2}{P}_{2}{Q}_{2}•{Q}_{2}{M}_{2}sin12{0}^{°}$=$\frac{1}{2}×\frac{1}{5}×1×\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{\sqrt{3}}{20}$．
S₂=${S}_{梯形A{N}_{1}{B}_{1}{C}_{1}}$-${S}_{△{P}_{2}{Q}_{2}{M}_{2}}$=$\frac{3\sqrt{3}}{4}$-$\frac{\sqrt{3}}{20}$．
…，
由于$\frac{{P}_{n}{Q}_{n}}{A{N}_{n}}=\frac{{Q}_{n}{M}_{n}}{{N}_{n}{M}_{n}}$=$\frac{1}{2n}$，∴Q_nM_n=$\frac{1}{2n+1}$．
同理可得$\frac{{S}_{△{P}_{1+n}{Q}_{n+1}{M}_{n+1}}}{{S}_{△{P}_{n}{Q}_{n}{M}_{n}}}$=$\frac{{Q}_{n+1}{M}_{n+1}}{{Q}_{n}{M}_{n}}$=$\frac{2n+1}{2n+3}$．
可得S_n=$\frac{3\sqrt{3}}{4}-\frac{\sqrt{3}}{8n+4}$．

点评 本题考查了梯形的面积计算公式、平行线的性质、相似三角形的性质，考查了类比推理、推理能力与计算能力，属于难题．