Question

已知A（0，1），B（1，0），C（-3，-2）三点．
（Ⅰ）证明△ABC是直角三角形；
（Ⅱ）求△ABC的面积S；
（Ⅲ）试在x轴上找一点P使|PC|-|PA|最大（不必证明），求出P点的坐标．

Answer 1

分析：（Ⅰ）考察△ABC其中两边所在直线垂直即可，可以通过两边所在直线斜率乘积为-1来证明．
 （Ⅱ）由 （Ⅰ）可以证明AB⊥BC，因此S=

1

2

|AB|•|BC|，利用两点距离公式求出|AB|，|BC|后代入数据计算即可．
（Ⅲ）A关于x轴的对称点为D（0，-1），连CD交x轴于P点，则P使|PC|-|PA|最大．利用C，D，P三点共线 求出P点的坐标即可．

解答：解：（Ⅰ）∵k_AB=-1，k_BC=1，∴k_AB?k_BC=-1，
∴AB⊥BC，∴△ABC是直角三角形…3分
（Ⅱ）|AB|=

(1-0)2+(0-1)2

=

2

，|BC|=

(0+3)2+(1+2)2

=3

2

∴三角形ABC的面积为：S=

1

2

|AB|•|BC|=

1

2

×

2

×3

2

=3（平方单位）…
（Ⅲ）A关于x轴的对称点为D（0，-1），连CD交x轴于P点，则P使|PC|-|PA|最大．
设P（x，0），由C，D，P三点共线，则KCD=KDP⇒

1

3

=

1

x

⇒x=3
故P点的坐标为P（3，0）…（10分）

点评：本题考查平面直角坐标系内两条直线垂直的判断，两点距离公式的应用，距离最值问题，考查转化、计算能力．