Question

已知A（0，1）、B（0，2）、C（4t，2t²-1）（t∈R），⊙M是以AC为直径的圆，再以M为圆心、BM为半径作圆交x轴交于D、E两点．
（Ⅰ）若△CDE的面积为14，求此时⊙M的方程；
（Ⅱ）试问：是否存在一条平行于x轴的定直线与⊙M相切？若存在，求出此直线的方程；若不存在，请说明理由；
（Ⅲ）求

BD

BE

+

BE

BD

的最大值，并求此时∠DBE的大小．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由题意求出圆心M的坐标、半径BM的长度，用t圆方程求交x轴的弦长，再由△CDE的面积为14求出t．
（Ⅱ）先假设存在一条平行于x轴的定直线与⊙M相切，再利用圆心M到直线的距离等于半径M，求解．
（Ⅲ）对式子

BD

BE

+

BE

BD

通分后观察特点，在△BDE中，设∠DEB=θ，用三角形的面积相等和余弦定理用θ表示所求的式子，再进行整理后由正弦函数的单调性求最大值及θ．

解答：解：（Ⅰ）由题意得，B（0，2）、M（2t，t²），
∴|BM|=

(2t)2+(t2-2)2

=

t4+4

；
∴以M为圆心、BM为半径的圆方程为（x-2t）²+（y-t²）²=t⁴+4，
∴其交x轴的弦DE=2

t4+4-t4

=4，
∴S△CDE=

1

2

DE•(2t2-1)=14，解得，t=±2，
∴⊙M的方程为（x±4）²+（y-4）²=20；
（Ⅱ）假设存在存在一条平行于x轴的定直线与⊙M相切；
∵MA=

(2t)2+(t2-1)2

=t2+1，y_M=t²，
∴存在一条平行于x轴的定直线y=-1与⊙M相切；
（Ⅲ）在△BDE中，设∠DBE=θ，且DE为弦，故θ∈(0，

π

2

]，
由（Ⅰ）得，DE=4，在△BDE中，DE边上的高为2；
由三角形的面积相等得：
S△BDE=

1

2

BD•BE•sinθ=

1

2

×4×2=4，
∴BD•BE=

8

sinθ

；
由余弦定理得，DE²=BD²+BE²-2BD•BE×cosθ，
∴BD2+BE2-16=2×

8

sinθ

×cosθ，
∴BD2+BE2=

16

sinθ

cosθ+16，
∴

BD

BE

+

BE

BD

=

BD2+BE2

BD•BE

=2sinθ+2cosθ=2

2

sin(θ+

π

4

)，θ∈(0，

π

2

]，
故当θ=

π

4

时，

BD

BE

+

BE

BD

的最大值为2

2

．

点评：本题的前两问属于基础题，考查了圆的方程、求弦长、直线与圆相切问题；第三问的知识跨度大，考查了正（余）弦定理，正（余）弦和差公式以及三角函数的单调性，注意角的范围；是综合性很大的题目．