Question

6．已知3sin²α+2sin²β=2sinα，则sin²α+sin²β的取值范围是（　　）

• A． [-$\frac{3}{2}$，$\frac{1}{2}$]
• B． [0，$\frac{1}{2}$]
• C． [0，$\frac{4}{9}$]
• D． [$\frac{4}{9}$，$\frac{1}{2}$]

Answer 1

分析 由3sin²α+2sin²β=2sinα，可得sin²β=sinα-$\frac{3}{2}$sin²α，代入所求的式子，由sin²β≥0可确定sinα的范围，从而通过配方即可解决问题．

解答 解：∵3sin²α+2sin²β=2sinα，
∴sin²β=sinα-$\frac{3}{2}$sin²α≥0，
∴0≤sinα≤$\frac{2}{3}$；
∴sin²α+sin²β=sin²α+sinα-$\frac{3}{2}$sin²α=-$\frac{1}{2}$（sinα-1）²+$\frac{1}{2}$，
∵0≤sinα≤$\frac{2}{3}$；
∴-$\frac{1}{2}$（sinα-1）²+$\frac{1}{2}$∈[0，$\frac{4}{9}$]．
故选：C．

点评 本题考查正弦函数的定义域和值域，难点在于利用正弦函数的定义域和值域求二次函数在闭区间上的最值，属于中档题．