Question

如图所示，直四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁，的棱AA₁长为a，底面ABCD是边长AB=2a，BC=a的矩形，E为C₁D₁的中点．
（1）求证：DE⊥平面EBC．
（2）求点C到平面EBD的距离．

Answer 1

【答案】分析：（1）要证明DE⊥平面EBC，只要证明由EC⊥ED，BC⊥DE，即可证明
（2）法一：由V_C-EBD=V_E-BCD可求C到平面BDE的距离
法二：建立直角坐标系，先求平面EBD的一个法向量，然后求出，可求C到平面BDE的距离为d=
解答：（1）证明：由题意可得，EC=ED=
∵CD=2a
∴EC⊥ED，…（2分）
∵BC⊥平面CC₁D₁D
∴BC⊥DE，…（4分）
即DE垂直于平面EBC中两条相交直线，
因此DE⊥平面EBC，…（7分）
（2）解1：结合第（1）问得DB=，DE=，…（8分）
，DE⊥BE，
所以，S_△EBD= …（10分）
又由V_C-EBD=V_E-BCD得    …（12分）
故C到平面BDE的距离为h= …（14分）
解2：如图建立直角坐标系，
则E（0，a，a），，B（a，2a，0），，…（9分）
因此平面EBD的一个法向量可取为，
由C（0，2，0），得，…（11分）
因此C到平面BDE的距离为d==
（其他解法，可根据【解1】的评分标准给分）
点评：本题主要考查了线面垂直的判定定理的应用，等体积求解点到面的距离及向量法在距离求解中的应用．