Question

（2012•杨浦区二模）如图所示，直四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的侧棱AA₁长为a，底面ABCD是边长AB=2a，BC=a的矩形，E为C₁D₁的中点．
（1）求证：DE⊥平面EBC；
（2）求异面直线AD与EB所成的角的大小（结果用反三角函数表示）．

Answer 1

分析：（1）先证明EC⊥ED，在利用BC⊥平面CC₁D₁D，证明BC⊥DE，即可证明DE⊥平面EBC；
（2）先证明∠EBC即为所求异面直线的夹角（或其补角），确定△EBC为直角三角形，从而可求异面直线AD与EB所成的角的大小．

解答：（1）证明：∵直四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的侧棱AA₁长为a，底面ABCD是边长AB=2a，BC=a的矩形，E为C₁D₁的中点，
∴EC=ED=

2

a，CD=2a
∴EC⊥ED，…（2分）
∵BC⊥平面CC₁D₁D，DE?平面CC₁D₁D，
∴BC⊥DE，…（4分）
∵BC∩EC=C
∴DE⊥平面EBC，…（7分）
（2）解：∵AD∥BC，
∴∠EBC即为所求异面直线的夹角（或其补角），…（9分）
由BC⊥平面CC₁D₁D，EC?平面CC₁D₁D，得BC⊥EC，…（11分）
即△EBC为直角三角形，
在直角△EBC中，EC=

2

a，BC=a，
∴tan∠EBC=

EC

BC

=

2

∴∠EBC=arctan

2

                        …（14分）

点评：本题考查线面垂直，考查线线角，解题的关键是掌握线面垂直的判定，正确作出线线角，属于中档题．