Question

定义：若函数对于其定义域内的某一数，有，则称是的一个不动点. 已知函数.

(1) 当，时，求函数的不动点；

(2) 若对任意的实数b，函数恒有两个不动点，求a的取值范围；

(3) 在(2)的条件下，若图象上两个点A、B的横坐标是函数的不动点，且A、B的中点C在函数的图象上，求b的最小值.
（参考公式：的中点坐标为）

Answer 1

(1)，由，           ………………1分

解得或，所以所求的不动点为或-2.            ……3分

(2)令，则 ①

由题意，方程①恒有两个不等实根，所以，      

即恒成立，                                      ……………6分

则，故                                 ……8分

(3)设A(x₁，x₁)，B(x₂，x₂)(x₁≠x₂)，，         ……9分

又AB的中点在该直线上，所以，

∴，                                     

而x₁、x₂应是方程①的两个根，所以，即，

∴=-=-              ………12分

∴当 a=∈(0，1)时，b_min=-2                                     ……13分