Question

已知椭圆（a＞b＞0）的右焦点为F₂（3，0），离心率为e．
（Ⅰ）若，求椭圆的方程；
（Ⅱ）设直线y=kx与椭圆相交于A，B两点，若，且，求k的取值范围．

Answer 1

【答案】分析：（I）先根据椭圆方程，根据条件列出关于a，b，c的方程，求出a，b，c即可得到结论．
（II）因为直线和椭圆有两个不同的交点，所以两方程联立化成关于x的一元二次方程，可运用设而不求的办法把设出的A，B点的坐标代入向量的数量积公式，求出k关于a的函数表达式，进一步整理后求出函数的值域即可．
解答：解：（I）由题得：c=3，=⇒a=2，b=．
故椭圆方程为；
（II）由得（b²+a²k²）x²-a²b²=0，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），∴x₁+x₂=0，x₁x₂=，又=（3-x₁，-y₁），
=（3-x₂，-y₂），∴=（1+k²）x₁x₂+9=0，即，
∴k²==-1-，
∵＜e≤，
∴2≤a≤3，12≤a²≤18，
∴k²，即 k∈（-∞，-]∪[，+∞）．
点评：本题主要考查椭圆的基本性质，考查了直线与圆锥曲线的关系，考查了学生的运算能力，一般涉及直线与圆锥曲线的交点问题，常利用方程思想．此题是中档题．