Question

【题目】在边长为的等边三角形中，点分别是边上的点，满足且，将沿直线折到的位置. 在翻折过程中，下列结论成立的是（ ）

A.在边上存在点，使得在翻折过程中，满足平面

B.存在，使得在翻折过程中的某个位置，满足平面平面

C.若，当二面角为直二面角时，

D.在翻折过程中，四棱锥体积的最大值记为，的最大值为

Answer 1

【答案】D

【解析】

利用反证法可证明A、B错误，当且二面角为直二面角时，计算可得，从而C错误，利用体积的计算公式及放缩法可得，从而可求的最大值为，因此D正确.

对于A，假设存在，使得平面，

如图1所示，

因为平面，平面平面，故，

但在平面内，是相交的，

故假设错误，即不存在，使得平面，故A错误.

对于B，如图2，

取的中点分别为，连接，

因为为等边三角形，故，

因为，故

所以均为等边三角形，故，，

因为，，，故共线，

所以，因为，故平面，

而平面，故平面平面，

若某个位置，满足平面平面，则在平面的射影在上，也在上，故在平面的射影为，所以，

此时，这与矛盾，故B错误.

对于C，如图3（仍取的中点分别为，连接）

因为，所以为二面角的平面角，

因为二面角为直二面角，故，所以，

而，故平面，因平面，故.

因为，所以.

在中，，

在中，，故C错.

对于D，如图4（仍取的中点分别为，连接），

作在底面上的射影，则在上.

因为，所以且，所以其.

又

，

令，则，

当时，；当时，.

所以在为增函数，在为减函数，故.

故D正确.

故选：D.