Question

设△ABC的内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，且(2b-

3

c)cosA=

3

acosC．
（Ⅰ）求角A的大小；  
（Ⅱ）若角B=

π

6

，BC边上的中线AM的长为

7

，求△ABC的内切圆半径r与外接圆半径R的比值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）通过已知条件利用正弦定理以及两角和与差的三角函数，化简求出角A余弦函数值，然后求出A的大小；  
（Ⅱ）利用角B=

π

6

，BC边上的中线AM的长为

7

，通过余弦定理求出AC的长，通过三角形面积求出△ABC的内切圆半径r，通过正弦定理求出三角形外接圆半径R，然后求解比值．

解答：解：（Ⅰ）∵(2b-

3

c)cosA=

3

acosC，
∴(2sinB-

3

sinC)cosA=

3

sinAcosC．
即2sinBcosA=

3

sinAcosC+

3

sinCcosA．
∴2sinBcosA=

3

sin(A+C)．…．（2分）
则2sinBcosA=

3

sinB，∴cosA=

3

2

，因为0＜A＜π则A=

π

6

．…．（4分）
（Ⅱ）由（1）知A=B=

π

6

，所以AC=BC，C=

2π

3

，
设AC=x，在△AMC中由余弦定理得AC²+MC²-2AC•MCcosC=AM²，
即x2+(

x

2

)2-2x•

x

2

•cos120°=(

7

)2，解得x=2，…．（8分）
故S△ABC=

1

2

x2sin

2π

3

=

3

=

1

2

(AB+AC+BC)r=

1

2

(2+2+2

3

)r，可得r=2

3

-3．由2R=

BC

sinA

=

2

sin π 6

=4，可得R=2，
∴

r

R

=

2 3 -3

2

．…（12分）

点评：本题考查两角和与差的三角函数，正弦定理以及余弦定理的应用，三角形的面积公式的应用，考查计算能力．