Question

已知△ABC的三个内角A，B，C满足：A+C=2B，

1

cosA

+

1

cosC

=-

2

cosB

，求cos

A-C

2

的值．

Answer 1

由题设条件知B=60°，A+C=120°．
∵

- 2

cos60°

=-2

2

，
∴

1

cosA

+

1

cosC

=-2

2

将上式化为cosA+cosC=-2

2

cosAcosC
利用和差化积及积化和差公式，上式可化为2cos

A+C

2

cos

A-C

2

=-

2

[cos(A+C)+cos(A-C)]
将cos

A+C

2

=cos60°=

1

2

，cos(A+C)=-

1

2

代入上式得cos(

A-C

2

)=

2

2

-

2

cos(A-C)
将cos(A-C)=2cos2(

A-C

2

)-1代入上式并整理得4

2

cos2(

A-C

2

)+2cos(

A-C

2

)-3

2

=0(2cos

A-C

2

-

2

)(2

2

cos

A-C

2

+3)=0，
∵2

2

cos

A-C

2

+3≠0，
∴2cos

A-C

2

-

2

=0.
从而得cos

A-C

2

=

2

2

.