Question

某学生在上学路上要经过4个路口，假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的，遇到红灯的概率都是

1

3

，遇到红灯时停留的时间都是2min．
（Ⅰ）求这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯的概率；
（Ⅱ）求这名学生在上学路上因遇到红灯停留的总时间ξ的分布列及期望．

Answer 1

分析：（1）由题意知在各路口是否遇到红灯是相互独立的，所以这名学生在第一和第二个路口没有遇到红灯，在第三个路口遇到红灯是相互独立事件同时发生的概率，根据公式得到结果．
（2）由题意知变量的可能取值，根据所给的条件可知本题符合独立重复试验，根据独立重复试验公式得到变量的分布列，算出期望．

解答：解：（Ⅰ）设这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯为事件A，
∵事件A等于事件“这名学生在第一和第二个路口没有遇到红灯，在第三个路口遇到红灯”，
∴事件A的概率为P(A)=(1-

1

3

)×(1-

1

3

)×

1

3

=

4

27

（Ⅱ）由题意可得ξ可能取的值为0，2，4，6，8（单位：min）
事件“ξ=2k”等价于事件“该学生在路上遇到k次红灯”（k=0，1，2，3，4），
∴P(ξ=2k)=

C

k 4

(

1

3

)k(

2

3

)4-k(k=0，1，2，3，4)，
∴即ξ的分布列是

∴ξ的期望是Eξ=0×

16

81

+2×

32

81

+4×

8

27

+6×

8

81

+8×

1

81

=

8

3

点评：考查运用概率知识解决实际问题的能力，相互独立事件是指，两事件发生的概率互不影响，而对立事件是指同一次试验中，不会同时发生的事件，遇到求用至少来表述的事件的概率时，往往先求它的对立事件的概率．