Question

已知椭圆的左、右焦点分别为F₁、F₂，离心率，右准线方程为x=2．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）过点F₁的直线l与该椭圆交于M、N两点，且，求直线l的方程．

Answer 1

【答案】分析：（1）由已知得，解得，由此能得到所求椭圆的方程．
（2）由题意知F₁（-1，0）、F₂（1，0），①若直线l的斜率不存在，
则直线l的方程为x=-1，由得
设、，，这与已知相矛盾．
②若直线l的斜率存在，设直线直线l的斜率为k，则直线l的方程为y=k（x+1），设M（x₁，y₁）、N（x₂，y₂），联立，消元得（1+2k²）x²+4k²x+2k²-2=0．再由根与系数的关系进行求解．
解答：解：（1）由已知得，
解得
∴∴所求椭圆的方程为
（ 2）由（1）得F₁（-1，0）、F₂（1，0）
①若直线l的斜率不存在，则直线l的方程为x=-1，
由得
设、，
∴，这与已知相矛盾．
②若直线l的斜率存在，设直线直线l的斜率为k，则直线l的方程为y=k（x+1），
设M（x₁，y₁）、N（x₂，y₂），
联立，消元得（1+2k²）x²+4k²x+2k²-2=0
∴，
∴．
又∵
∴
∴
化简得40k⁴-23k²-17=0
解得k²=1或k²=（舍去）
∴k=±1
∴所求直线l的方程为y=x+1或y=-x-1
点评：本题考查直线和圆锥曲线的综合应用，解题时要认真审题，合理解答．