Question

已知双曲线的离心率为，左、右焦点分别为F₁、F₂，在双曲线C上有一点M，使MF₁⊥MF₂，且△MF₁F₂的面积为．
（1）求双曲线C的方程；
（2）过点P（3，1）的动直线 l与双曲线C的左、右两支分别交于两点A、B，在线段AB上取异于A、B的点Q，满足|AP|•|QB|=|AQ|•|PB|，证明：点Q总在某定直线上．

Answer 1

【答案】分析：（1）由双曲线（a＞0，b＞0）的离心率为，知a²=3b²．由MF₁⊥MF₂，且△MF₁F₂的面积为1．知|MF₁||MF₂|=2．由此能导出双曲线C的方程．
（2）解法1：设点Q，A，B的坐标分别为（x，y），（x₁，y₁），（x₂，y₂），且x₁＜x₂＜3，又设直线l的倾斜角为θ，分别过点P，Q，A，B作x轴的垂线，垂足分别为P₁，Q₁，A₁，B₁，则 ，，，，由|AP|•|QB|=|AQ|•|PB|，知（3-x₁）（x₂-x）=（x-x₁）（3-x₂），由此能够证明点Q（x，y）总在定直线x-y-1=0上．
解法2：设点Q，A，B的坐标分别为（x，y），（x₁，y₁），（x₂，y₂），且x₁＜x₂＜3，由|AP|•|QB|=|AQ|•|PB|，知[6-（x₁+x₂）]x=3（x₁+x₂）-2x₁x₂．由此能够证明点Q（x，y）总在定直线x-y-1=0上．
解法3：设点Q，A，B的坐标分别为（x，y），（x₁，y₁），（x₂，y₂），由题设知|AP|，|PB|，|AQ|，|QB|均不为零，记PBAQxy．由过点P的直线l与双曲线C的左、右两支相交于两点A，B，知λ＞0且λ≠1．由A，P，B，Q四点共线，知．由此能够证明点Q（x，y）总在定直线x-y-1=0上．
解法4：设点Q，A，B的坐标分别为（x，y），（x₁，y₁），（x₂，y₂），由题设知|AP|，|PB|，|AQ|，|QB|均不为零，记．由过点P的直线l与双曲线C的左、右两支分别相交于两点A、B，知λ＞0且λ≠1．由A，P，B，Q四点共线，设，则λ₁+λ₂=0．由此能够证明点Q（x，y）总在定直线x-y-1=0上．
解答：解：（1）∵双曲线（a＞0，b＞0）的离心率为，
∴．即a²=3b²．                      ①
∵MF₁⊥MF₂，且△MF₁F₂的面积为1．
∴，即|MF₁||MF₂|=2．
∵||MF₁|-|MF₂||=2a，
∴|MF₁|²-2|MF₁||MF₂|+|MF₂|²=4a²．
∴|F₁F₂|²-4=4a²．
∴4（a²+b²）-4=4a²，∴b²=1．                     ②
将②代入①，得a²=3．
∴双曲线C的方程为．
（2）解法1：设点Q，A，B的坐标分别为（x，y），（x₁，y₁），（x₂，y₂），且x₁＜x₂＜3，又设直线l的倾斜角为θ，分别过点P，Q，A，B作x轴的垂线，垂足分别为P₁，Q₁，A₁，B₁，
则 ，，，，
∵|AP|•|QB|=|AQ|•|PB|，
∴（3-x₁）（x₂-x）=（x-x₁）（3-x₂），
即[6-（x₁+x₂）]x=3（x₁+x₂）-2x₁x₂．③
设直线l的方程为y-1=k（x-3），④
将④代入=1中整理，得
（1-3k²）x²-6k（1-3k）x-3[（1-3k）²+1]=0．
依题意x₁，x₂是上述方程的两个根，且1-3k²≠0，
∴⑤
将⑤代入③整理，得x-2=k（x-3）．⑥
由④、⑥消去k得x-2=y-1，这就是点Q所在的直线方程．
∴点Q（x，y）总在定直线x-y-1=0上．
解法2：设点Q，A，B的坐标分别为（x，y），（x₁，y₁），（x₂，y₂），且x₁＜x₂＜3，
∵|AP|•|QB|=|AQ|•|PB|，
∴，即，
即[6-（x₁+x₂）]x=3（x₁+x₂）-2x₁x₂．
以下同解法1．
解法3：设点Q，A，B的坐标分别为（x，y），（x₁，y₁），（x₂，y₂），
由题设知|AP|，|PB|，|AQ|，|QB|均不为零，记
PBAQxy．
∵过点P的直线l与双曲线C的左、右两支
相交于两点A，B，
∴λ＞0且λ≠1．
∵A，P，B，Q四点共线，
∴．
即
∴③
由③消去λ，得[6-（x₁+x₂）]x=3（x₁+x₂）-2x₁x₂．
以下同解法1．
解法4：设点Q，A，B的坐标分别为（x，y），（x₁，y₁），（x₂，y₂），
由题设知|AP|，|PB|，|AQ|，|QB|均不为零，记．
∵过点P的直线l与双曲线C的左、右两支分别相交于两点A、B，
∴λ＞0且λ≠1．
∵A，P，B，Q四点共线，
设，则λ₁+λ₂=0．
即
∴
∵点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）在双曲线C上，
∴，其中i=1，2．
∴λ₁，λ₂是方程的两个根．
即λ₁，λ₂是方程（x²-3y²-3）λ²+6（x-y-1）λ+3=0的两个根．
∵λ₁+λ₂=0，且x²-3y²-3≠0，
∴，即x-y-1=0．
∴点Q（x，y）总在定直线x-y-1=0上．
点评：本小题主要考查双曲线、解方程和直线与圆锥曲线的位置关系等知识，考查化归与转化、数形结合的数学思想方法，以及抽象概括能力、推理论证能力和运算求解能力