Question

【题目】已知函数（是自然对数的底数，）.

（1）求函数的单调递增区间；

（2）若为整数，，且当时，恒成立，其中为的导函数，求的最大值.

Answer 1

【答案】（1）当时，的增区间为；当时，的增区间为；（2）2.

【解析】

试题分析：（1）求单调增区间，只要解不等式，它的解集区间就是所求增区间；（2）不等式恒成立，不等式具体化为，由于，因此又可转化为，这样小于的最小值，因此下面只要求的最小值.，接着要讨论的零点，由于在上单调递增，且，因此在上有唯一零点，即在上存在唯一的零点，设其为，则，可证得为最小值，，从而整数的最大值为2.

试题解析：（1）.

若，则恒成立，所以，在区间上单调递增.........2分

若，当时，，在上单调递增.

综上，当时，的增区间为；当时，的增区间为..... 4分

（2）由于，所以，

当时，，故————① 6分

令，则

函数在上单调递增，而

所以在上存在唯一的零点，

故在上存在唯一的零点. 8分

设此零点为，则.

当时，；当时，；

所以，在上的最小值为.由可得10分

所以，由于①式等价于.

故整数的最大值为2. 12分