Question

【题目】如图，在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1⊥平面ABCD，且AB=AD=2，AA1= ，∠BAD=120°．
（Ⅰ）求异面直线A1B与AC1所成角的余弦值；
（Ⅱ）求二面角B﹣A1D﹣A的正弦值．

Answer 1

【答案】解：在平面ABCD内，过A作Ax⊥AD，
∵AA1⊥平面ABCD，AD、Ax平面ABCD，
∴AA1⊥Ax，AA1⊥AD，
以A为坐标原点，分别以Ax、AD、AA1所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系．
∵AB=AD=2，AA1= ，∠BAD=120°，
∴A（0，0，0），B（ ），C（ ，1，0），
D（0，2，0），
A1（0，0， ），C1（ ）．
=（ ）， =（ ）， ， ．
（Ⅰ）∵cos＜ ＞= = ．
∴异面直线A1B与AC1所成角的余弦值为 ；
（Ⅱ）设平面BA1D的一个法向量为 ，
由 ，得 ，取x= ，得 ；
取平面A1AD的一个法向量为 ．
∴cos＜ ＞= = ．
∴二面角B﹣A1D﹣A的正弦值为 ，则二面角B﹣A1D﹣A的正弦值为 ．

【解析】在平面ABCD内，过A作Ax⊥AD，由AA1⊥平面ABCD，可得AA1⊥Ax，AA1⊥AD，以A为坐标原点，分别以Ax、AD、AA1所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系．结合已知求出A，B，C，D，A1 ， C1 的坐标，进一步求出 ， ， ， 的坐标．
（Ⅰ）直接利用两法向量所成角的余弦值可得异面直线A1B与AC1所成角的余弦值；
（Ⅱ）求出平面BA1D与平面A1AD的一个法向量，再由两法向量所成角的余弦值求得二面角B﹣A1D﹣A的余弦值，进一步得到正弦值．