Question

8．设a、b是互不相等的正数，则下列不等式中不恒成立的是（　　）

• A． a³+b³＞a²b+ab²
• B． ${a^2}+\frac{1}{a^2}≥a+\frac{1}{a}$
• C． $|a-b|+\frac{1}{a-b}≥2$
• D． $\sqrt{a+3}-\sqrt{a+1}≤\sqrt{a+2}-\sqrt{a}$

Answer 1

分析 A．由于a、b是互不相等的正数，作差a³+b³-a²b-ab²=（a-b）²（a+b）＞0，即可判断出正误；
B．由a是正数，可得$a+\frac{1}{a}$≥2，可得${a}^{2}+\frac{1}{{a}^{2}}$-$（a+\frac{1}{a}）$=$（a+\frac{1}{a}-\frac{1}{2}）^{2}$-$\frac{1}{4}$＞0，即可判断出正误；
C．取a=2，b=1，则|a-b|+$\frac{1}{a-b}$=1-1=0，即可判断出结论；
D.$\sqrt{a+3}-\sqrt{a+1}$=$\frac{2}{\sqrt{a+3}+\sqrt{a+1}}$，$\sqrt{a+2}-\sqrt{a}$=$\frac{2}{\sqrt{a+2}+\sqrt{a}}$，而$\frac{2}{\sqrt{a+3}+\sqrt{a+1}}$＜$\frac{2}{\sqrt{a+2}+\sqrt{a}}$，即可判断出正误．

解答 解：A．∵a、b是互不相等的正数，∴a³+b³-a²b-ab²=（a-b）²（a+b）＞0，∴a³+b³＞a²b+ab²恒成立；
B．∵a是正数，∴$a+\frac{1}{a}$≥2，∴${a}^{2}+\frac{1}{{a}^{2}}$-$（a+\frac{1}{a}）$=$（a+\frac{1}{a}-\frac{1}{2}）^{2}$-$\frac{1}{4}$＞0，因此恒成立；
C．取a=2，b=1，则|a-b|+$\frac{1}{a-b}$=1-1=0，因此不成立；
D.$\sqrt{a+3}-\sqrt{a+1}$=$\frac{2}{\sqrt{a+3}+\sqrt{a+1}}$，$\sqrt{a+2}-\sqrt{a}$=$\frac{2}{\sqrt{a+2}+\sqrt{a}}$，∵$\frac{2}{\sqrt{a+3}+\sqrt{a+1}}$＜$\frac{2}{\sqrt{a+2}+\sqrt{a}}$，∴$\sqrt{a+3}-\sqrt{a+1}$＜$\sqrt{a+2}-\sqrt{a}$，恒成立．
故选：C．

点评 本题考查了不等式的基本性质与基本不等式的性质、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．