Question

（本题满分15分）

已知椭圆C：+=1(a＞b＞0)的离心率为，且经过点P(1，).

（1）求椭圆C的方程；

（2）设F是椭圆C的右焦点，M为椭圆上一点，以M为

圆心，MF为半径作圆M.问点M横坐标满足什么条

件时，圆M与y轴有两个交点？

（3）设圆M与y轴交于D、E两点，

求点D、E距离的最大值.

Answer 1

解：(1)∵椭圆+=1(a＞b＞0)的离心率为，且经过点P(1，)，

∴，即 ，解得 ，………………3分

∴椭圆C的方程为+=1。………………5分

(2)易求得F(1，0)。设M(x₀，y₀)，则+=1， 圆M的方程为(x-x₀)²+(y-y₀)²=(1-x₀)²+y₀²，

令x=0，化简得y²-2y₀y+2x₀-1=0，⊿=4y₀²-4(2x₀-1)²＞0……①。

将y₀²=3(1-)代入①，得3x₀²+8x₀-16＜0，解出 -4＜x₀＜故-2≤x₀＜……9分

(3)设D(0，y₁)，E(0，y₂)，其中y₁＜y₂。由(2)，得

DE= y₂- y₁===，

当x₀=-时，DE的最大值为。………………15分