Question

设T_n为数列{a_n}的前n项乘积，满足
（1）设，求证：数列{b_n}是等差数列；
（2）设•b_n，求证数列{c_n}的前n项和S_n；
（3）设，求证：．

Answer 1

【答案】分析：（1）由T_n=1-a_n，，n≥2，知，从而=1，由此能证明数列{b_n}是等差数列．
（2）由（1）知b_n=2+（n-1）=n+1，从而c_n=（n+1）•2ⁿ，故S_n=2•2+3•2²+…+（n+1）•2ⁿ，利用错位相减法能求出数列{c_n}的前n项和S_n．
（3）由，知n≥2时，，由，知，由此利用放缩法能够证明．
解答：解：（1）∵T_n=1-a_n，，n≥2，
∴，从而=1，（n≥2）
∴b_n-b_n-1=1，（n≥2）
∵T₁=a₁=1-a₁，
∴，，
∴{b_n}是以2为首项，1为公差的等差数列．
（2）由（1）知b_n=2+（n-1）=n+1，从而c_n=（n+1）•2ⁿ，
∴S_n=2•2+3•2²+…+（n+1）•2ⁿ，
2S_n=2•2²+3•2³+…+n•2ⁿ+（n+1）•2ⁿ⁺¹，
两式相减，得-S_n=4+（2²+2³+…+2ⁿ）-（n+1）•2ⁿ⁺¹
=4+-（n+1）•2ⁿ⁺¹
=-n•2ⁿ⁺¹，
∴S_n=n•2ⁿ⁺¹．
（3）∵，
∴n≥2时，，
∵，∴，

=
＞
=++…+
=
=，
∴，
又∵当n≥2时，
=
=+
=
==，
．
点评：本题考查等差数列的证明，考查前列的前n项和的求法，考查不等式的证明，解题时要认真审题，注意错位相减法和放缩法的合理运用．