Question

设T_n为数列{a_n}的前n项之积，满足T_n=1-a_n（n∈N^*）．
（1）设bn=

1

Tn

，证明数列{b_n}是等差数列，并求b_n和a_n；
（2）设S_n=T₁²+T₂²+…+T_n²求证：a_n+1-

1

2

＜S_n≤a_n-

1

4

．

Answer 1

分析：（1）首先利用数列{a_n}的前n项积T_n与通项之间的关系分类讨论写出相邻项满足的关系式，然后两式作商，再利用bn=

1

Tn

，利用作差法即可获得数列{b_n}是等差数列．由此可以求的数列{b_n}的通项公式，进而求得Tn然后求得数列{a_n}的通项公式；
（2）S_n=T₁²+T₂²+…+T_n²=

1

22

+

1

32

+…+

1

(n+1)2

，再进行放缩可证．

解答：解：（1）∵T_n=1-a_n（n∈N^*）．an=

Tn

Tn-1

(n≥2)，∴Tn=1- 

Tn

Tn-1

，∴1= 

1

Tn

-

1

Tn-1

(n≥2)
∵bn=

1

Tn

，∴b_n-b_n-1=1，∵T_n=1-a_n，∴T1=

1

2

，∴b1=

1

T1

=2，∴数列{b_n}是以2为首项，以1为公差的等差数列，∴b_n=n+1，∴Tn=

1

n+1

，∴an=1-

1

n+1

（2）S_n=T₁²+T₂²+…+T_n²=

1

22

+

1

32

+…+

1

(n+1)2

＞

1

2×3

+

1

3×4

…+  

1

(n+1)(n+2)

=

1

2

-

1

n+2

=an+1-

1

2

∴an+1-

1

2

＜Sn
当n≥2时，=

1

22

+

1

32

+…+

1

(n+1)2

＜

1

22

+

1

2×3

+

1

3×4

…+ 

1

n(n+1)

=

1

4

+

1

2

-

1

n+1

=an-

1

4

当n=1时，S1=a1-

1

4

∴S_n≤a_n-

1

4

，∴a_n+1-

1

2

＜S_n≤a_n-

1

4

．

点评：本题考查的是数列与不等式的综合类问题．在解答的过程当中充分体现了构造思想、放缩法解决不等式的证问题．