Question

【题目】已知抛物线的焦点为，准线为，若点在上，点在上，且是周长为的正三角形．

（1）求的方程；

（2）过点的直线与抛物线相交于两点，抛物线在点处的切线与交于点，求面积的最小值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）4.

【解析】

（1）由是周长为12的等边三角形知其边长为4，根据抛物线的定义知，设准线与轴交于，则，在中求得．

（2）首先分析出直线的斜率存在，设直线的方程为：，代入抛物线方程得，设，则.利用导数的几何意义求得点处切线方程为.令，可得,

从而得点,求出到直线的距离，最后可表示出面积，再由不等式的性质求得最小值．

（1）由是周长为12的等边三角形，得，

又由抛物线的定义可得.

设准线与轴交于，则，从而

在中，，即.

所以抛物线的方程为.

（2）依题意可知，直线的斜率存在，故设直线的方程为：，

联立消去可得，.

设，则.

所以

.

由，得，

所以过点的切线方程为，

又，

所以切线方程可化为.

令，可得,

所以点,

所以点到直线的距离，

所以，当时，等号成立

所以面积的最小值为4.