Question

在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AD=AA₁=1，AB=2，点E在棱AB上移动．
（1）证明：A₁D∥平面BCC₁B₁；
（2）当E为AB的中点时，求点E到面ACD₁的距离．

Answer 1

分析：（1）连接B₁C，直接利用直线与平面平行的判定定理证明A₁D∥平面BCC₁B₁；
（2）建立如图的坐标系，

DA1

=（1，0，1），E（1，1，0），

D1E

=（1，1，-1），求出平面ACD₁的法向量，最后利用点到面的距离公式即可求点E到面ACD₁的距离．

解答：（本题满分14分）
解：（1）连接B₁C，因为几何体是长方体，
所以A₁B₁CD是矩形，所以A₁D∥B₁C，
因为B₁C?平面BCC₁B₁，A₁D?平面BCC₁B₁，
所以A₁D∥平面BCC₁B₁；
（2）建立如图的坐标系，

DA1

=（1，0，1），
此时，E（1，1，0），

D1E

=（1，1，-1），
设平面ACD₁的法向量是

n

=(1，x，y)，

AD1

=(-1，0，1)，

AC

=(-1，2，0)，
由

n

• 

AD1

=0，

n

•

AC

=0，得

n

=(1，

1

2

，1)，
取

n

=(2，1，2)，
点E到面ACD₁的距离d=

| n • D1E |

| n |

=

1

3

．

点评：本小题主要考查向量语言表述线线的垂直、平行关系、点到平面的距离和线面关系等基本知识，同时考查空间想象能力和推理、运算能力．