Question

20．某食品厂为了检查一条自动包装流水线的生产情况，随机抽取该流水线上40件产品作为样本称出它们的重量（单位：克），重量的分组区间为 （490，495]，（495，500]，…，（510，515]，由此得到样本的频率分布直方图，如图所示．
（1）根据频率分布直方图，求重量超过505克的产品数量；
（2）在上述抽取的40件产品中任取2件，设ξ为重量超过505克的产品数量，求ξ的分布列及数学期望E（ξ）；
（3）如果一件产品的重量低于495克或超过510克都要重新包装，且把频率视作概率．现在从该流水线上每间隔30分钟都随机地取出两件产品进行检测，共取三次，若发现有需要重新包装的产品，就要停产对该流水线进行维修和调试，问：就目前的生产情况，该流水线是否需要停产？为什么？

Answer 1

分析 （1）由频率分布直方图，t先求出重量超过505克的产品所占频率，由此能求出重量超过505克的产品数量．
（2）抽取的40件产品中任取2件，设ξ为重量超过505克的产品数量，则ξ的可能取值为0，1，2，分别求出相应的概率，由此能求出ξ的分布列和E（ξ）．
（3）一件产品的重量低于495克或超过510克都要重新包装，且把频率视作概率，则任取一件产品需要重新包装的概率为（0.03+0.01）×5=0.2，现在从该流水线上每间隔30分钟都随机地取出两件产品进行检测，则两件产品都不需要重新包装的概率为0.64，由此得到就目前的生产情况，该流水线需要停产．

解答 解：（1）由频率分布直方图，得重量超过505克的产品所占频率为：
（0.05+0.01）×5=0.3，
∴重量超过505克的产品数量为：0.3×40=12（件）．
（2）抽取的40件产品中任取2件，设ξ为重量超过505克的产品数量，则ξ的可能取值为0，1，2，
P（ξ=0）=$\frac{{C}_{28}^{2}}{{C}_{40}^{2}}$=$\frac{63}{130}$，
P（ξ=1）=$\frac{{C}_{12}^{1}{C}_{28}^{1}}{{C}_{40}^{2}}$=$\frac{28}{65}$，
P（ξ=2）=$\frac{{C}_{12}^{2}}{{C}_{40}^{2}}$=$\frac{11}{130}$，
∴ξ的分布列为：

ξ	0	1	2
P	$\frac{63}{130}$	$\frac{28}{65}$	$\frac{11}{130}$

E（ξ）=$0×\frac{63}{130}+1×\frac{28}{65}+2×\frac{11}{130}$=$\frac{39}{65}$．
（3）一件产品的重量低于495克或超过510克都要重新包装，且把频率视作概率，
则任取一件产品需要重新包装的概率为（0.03+0.01）×5=0.2，
现在从该流水线上每间隔30分钟都随机地取出两件产品进行检测，
则两件产品都不需要重新包装的概率为：（1-0.2）（1-0.2）=0.64，
共取三次，若发现有需要重新包装的产品，就要停产对该流水线进行维修和调试，
∴就目前的生产情况，该流水线是需要停产的概率p=$1-{C}_{3}^{3}0.6{4}^{3}$=0.737856．
∴就目前的生产情况，该流水线需要停产．

点评 本题考查频数的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，考查概率的应用，是中档题，解题时要认真审题，注意频率分布直方图的性质的合理运用．