Question

已知函数f（x）=xlnx，g（x）=ax²-x（a∈R），
（1）求f（x）的单调区间和极值点；
（2）求使f（x）≤g（x）恒成立的实数a的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的极值,导数在最大值、最小值问题中的应用

专题：导数的综合应用

分析：（1）令f′（x）=lnx+1，得x=

1

e

，分别解出f′（x）＜0，f′（x）＞0，即可得出单调区间，判断出极值点．
（2）在x＞0时，f（x）≤g（x）恒成立?ax≥lnx+1，即a≥

lnx

x

+

1

x

对?x＞0恒成立．令h（x）=

lnx

x

+

1

x

，利用导数研究其单调性极值与最值即可．

解答： 解：（1）令f′（x）=lnx+1，得x=

1

e

，
当x∈(0，

1

e

)时，f′（x）＜0，则函数f（x）在(0，

1

e

)上单调递减；
当x∈(

1

e

，+∞)时，f′（x）＞0，则函数f（x）在(

1

e

，+∞)上单调递增．
综上可得：函数f（x）在(0，

1

e

)上单调递减，在(

1

e

，+∞)上单调递增．
∴f（x）的极小值点为x=

1

e

．
（2）在x＞0时，f（x）≤g（x）恒成立?ax≥lnx+1，即a≥

lnx

x

+

1

x

对?x＞0恒成立．
令h（x）=

lnx

x

+

1

x

，则h′(x)=-

lnx

x2

，
当0＜x＜1时，lnx＜0，则h′（x）＞0，故此时h（x）单调递增；
当1＜x时，lnx＞0，则h′（x）＜0，此时h（x）单调递减．
故h（x）_max=h（1）=1，
∴a≥1．

点评：本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值，考查了恒成立问题的等价转化方法，考查了分离参数方法，考查了推理能力和计算能力，属于难题．