Question

已知三次函数在和时取极值，且．

（Ⅰ） 求函数的表达式；

（Ⅱ）求函数的单调区间和极值；

（Ⅲ）若函数在区间上的值域为，试求、n应满足的条件。

Answer 1

（Ⅰ）．     （Ⅱ）函数在区间上是增函数；------------------7分

在区间上是减函数；在区间上是增函数．

函数的极大值是，极小值是． 

（Ⅲ）、n应满足的条件是：，且

解析:

（Ⅰ），                                            

由题意得，是的两个根，

解得，．                              ------------------2分

再由可得．

∴．  ------------------4分

（Ⅱ），

当时，；当时，；------------------5分

当时，；当时，；------------------6分

当时，．∴函数在区间上是增函数；------------------7分

在区间上是减函数；在区间上是增函数．

函数的极大值是，极小值是．           ------------------9分

（Ⅲ）函数的图象是由的图象向右平移个单位，向上平移4个单位得到，

所以，函数在区间上的值域为（）．-------------10分

而，∴，即．                                    

于是，函数在区间上的值域为．------------------12分

令得或．

由的单调性知，，即．

综上所述，、应满足的条件是：，且------------------14分