Question

已知三次函数在和时取极值，且．（Ⅰ） 求函数的表达式；（Ⅱ）求函数的单调区间和极值；（Ⅲ）若函数在区间上的值域为，试求、应满足的条件。

Answer 1

解：（Ⅰ），                             

由题意得：是的两个根，

解得，．                         

再由可得．         -----------------2分

∴．        ------------------4分

（Ⅱ）  解：，

当时，；当时，；------------------5分
当时，；当时，；------------------6分
当时，．∴函数在区间上是增函数；        ------------------7分
在区间上是减函数；在区间上是增函数．
函数的极大值是，极小值是．           ------------------9分

（Ⅲ）    解：函数的图象是由的图象向右平移个单位，向上平移4个单位得到，

所以，函数在区间上的值域为

（）．             -------------10分

而，∴，

 即．                       

则函数在区间上的值域为．------------------12分

令得或．

由的单调性知，，即．  

综上所述，、应满足的条件是：，且------------------14分