题目内容

（2013•崇明县二模）已知数列{an}是各项均不为0的等差数列，公差为d，Sn为其前n项和，且满足an2=S2n-1，n∈N*．数列{bn}满足bn=
1an•an+1
，n∈N*，Tn为数列{bn}的前n项和．
（1）求数列{an}的通项公式an和数列{bn}的前n项和Tn；
（2）若对任意的n∈N*，不等式λTn＜n+8•(-1)n恒成立，求实数λ的取值范围；
（3）是否存在正整数m，n（1＜m＜n），使得T1，Tm，Tn成等比数列？若存在，求出所有m，n的值；若不存在，请说明理由．
分析：（1）由an2=S2n-1，n∈N*．分别令n=1和2，可分别求出数列的首项和公差，代入可得数列{an}的通项公式，由bn=
1
an•an+1
，n∈N*，可由裂项相消法得到数列{bn}的前n项和Tn；
（2）由（1）中Tn的表达式，然后分n为奇数和n为偶数两种情况，分别求出实数λ的取值范围，综合分类讨论结果，可得答案．
（3）由（1）中Tn的表达式，结合等比数列的性质，可构造关于m，n的方程，根据1＜m＜n及m，n均为整数，可得答案．
解答：解：（1）在an2=S2n-1中，令n=1，n=2，
得
a
2
1
=S1
a
2
2
=S3
，即
a
2
1
=
a
 
1
(a
 
1
+d)2=
3a
 
1
+3d
（2分）
解得a1=1，d=2，（3分）
∴an=2n-1．
∵bn=
1
an•an+1
=
1
(2n-1)•(2n+1)
=
1
2
（
1
(2n-1)
-
1
(2n+1)
 ），
∴Tn=
1
2
（1-
1
3
+
1
3
-
1
5
+…+
1
(2n-1)
-
1
(2n+1)
 ）=
n
2n+1
．（5分）
（2）①当n为偶数时，要使不等式λTn＜n+8•（-1）n恒成立，即需不等式λ＜
(n+8)(2n+1)
n
=2n+
8
n
+17恒成立．（6分）∵2n+
8
n
≥8，等号在n=2时取得．
∴此时λ需满足λ＜25．（7分）
②当n为奇数时，要使不等式λTn＜n+8•（-1）n恒成立，即需不等式λ＜
(n-8)(2n+1)
n
=2n-
8
n
-15恒成立．（8分）
∵2n-
8
n
是随n的增大而增大，
∴n=1时，2n-
8
n
取得最小值-6．
∴此时λ需满足λ＜-21．（9分）
综合①、②可得λ的取值范围是λ＜-21．（10分）
（3）T1=
1
3
，Tm=
m
2m+1
，Tn=
n
2n+1
，
若T1，Tm，Tn成等比数列，则（
m
2m+1
）2=
1
3
 （
n
2n+1
），
即
m2
4m2+4m+1
=
n
6n+3
．（11分）
由
m2
4m2+4m+1
=
n
6n+3
，可得
3
n
=
-2m2+4m+1
m2
＞0，
即-2m2+4m+1＞0，（12分）
∴1-
6
2
＜m＜1+
6
2
．（13分）
又m∈N，且m＞1，所以m=2，此时n=12．
因此，当且仅当m=2，n=12时，数列 {Tn}中的T1，Tm，Tn成等比数列．（14分）
点评：本小题主要考查等差、等比数列的定义、通项、求和、对数的运算、直线方程与不等式等知识，考查化归、转化、方程的数学思想方法，以及抽象概括能力、运算求解能力、创新能力和综合应用能力
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20
20
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2
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AB
•
CD
=
-1
-1
．

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