题目内容
已知△ABC的三个内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且b2+c2=a2+bc，求：（1） 2sinBcosC-sin（B-C）的值；（2）若a=2，求△ABC周长的最大值．
（1）∵b2+c2=a2+bc，∴a2=b2+c2-bc，
结合余弦定理知cosA=
=
=
，
又A∈（0，π），∴A=
，
∴2sinBcosC-sin（B-C）=sinBcosC+cosBsinC
=sin（B+C）=sin[π-A]=sinA=
；
（2）由a=2，结合正弦定理得：
=
=
=
=
，
∴b=
sinB，c=
sinC，
则a+b+c=2+
sinB+
sinC
=2+
sinB+
sin（
-B）
=2+2
sinB+2cosB=2+4sin（B+
），
可知周长的最大值为6．
结合余弦定理知cosA=
| b2+c2-a2 |
| 2bc |
| b2+c2-(b2+c2-bc) |
| 2bc |
| 1 |
| 2 |
又A∈（0，π），∴A=
| π |
| 3 |
∴2sinBcosC-sin（B-C）=sinBcosC+cosBsinC
=sin（B+C）=sin[π-A]=sinA=
| ||
| 2 |
（2）由a=2，结合正弦定理得：
| a |
| sinA |
| b |
| sinB |
| c |
| sinC |
| 2 | ||||
|
4
| ||
| 3 |
∴b=
4
| ||
| 3 |
4
| ||
| 3 |
则a+b+c=2+
4
| ||
| 3 |
4
| ||
| 3 |
=2+
4
| ||
| 3 |
4
| ||
| 3 |
| 2π |
| 3 |
=2+2
| 3 |
| π |
| 6 |
可知周长的最大值为6．
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