题目内容

已知向量
a
=(sinx，1+cos2x)，
b
=(sinx-cosx，cos2x+
1
2
)，定义函数f(x)=
a
•(
a
-
b
)．
（1）求函数f（x）的单调递增区间；
（2）在△ABC中，∠A为锐角且A+B=
7π
12
，f（A）=1，BC=2，求边AC的长．
分析：（1）函数f（x）=
a
•
b
=
2
2
sin(2x+
π
4
)+
1
2
，由2kπ-
π
2
≤2x+
π
4
≤2kπ+
π
2
，k∈z，求出函数f（x）的单调递增区间．
（2）在△ABC中，∠A为锐角，由f（A）=1，可得
2
2
sin(2A+
π
4
)+
1
2
=1，sin(2A+
π
4
)  = 
2
2
，故
A=
π
4
，再由 A+B=
7π
12
，求得 B=
π
3
，由正弦定理得 AC的值．
解答：解：（1）函数f（x）=
a
•
b
=sinxcosx+
cos2x+1
2
=
2
2
sin(2x+
π
4
)+
1
2
，
令  2kπ-
π
2
≤2x+
π
4
≤2kπ+
π
2
，k∈z，得 kπ-
3π
8
≤x≤kπ+
π
8
，故函数f（x）的单调递增区间为
[kπ-
3π
8
≤x≤kπ+
π
8
]，k∈z．
（2）在△ABC中，∠A为锐角，由f（A）=1，BC=2，可得
2
2
sin(2A+
π
4
)+
1
2
=1，
∴sin(2A+
π
4
)  = 
2
2
，故 A=
π
4
．∵A+B=
7π
12
，∴B=
π
3
．
在△ABC中，由正弦定理得 
BC
sinA
=
AC
sinB
，∴AC=
BC•sinB
sinA
=
6
．
点评：本题考查两个向量的数量积公式的应用，正弦函数的单调性，正弦定理的应用，求出 A=
π
4
，是解题的关键．
练习册系列答案
相关题目
已知向量
a
=(sinθ，
3
)，
b
=(1，cosθ)，θ∈(-
π
2
，
π
2
)．
（1）若
a
⊥
b
，求θ；
（2）求|
a
+
b
|的最大值．
已知向量
a
=(sin(x-
π
4
)，-1)，
b
=(
2
，2)且f(x)=
a
•
b
+2
（1）求f（x）的表达式．
（2）用“五点作图法”画出函数f（x）在一个周期上的图象．
（3）写出f（x）在[-π，π]上的单调递减区间．
（4）设关于x的方程f（x）=m在x∈[-π，π]上的根为x1，x2且m∈(1，
2
)，求x1+x2的值．
已知向量
a
=(sinθ，-2)，
b
=(1，cosθ)，且
a
⊥
b
，则sin2θ+cos2θ的值为（　　）
已知向量
a
=(sinθ，1)，
b
=(1，cosθ)，θ∈(-
π
2
，
π
2
)．
（1）若
a
⊥
b
，求θ的值；
（2）若已知sinθ+cosθ=
2
sin(θ+
π
4
)，利用此结论求|
a
+
b
|的最大值．
已知向量
a
=(sin(x-
π
4
)，-1)，
b
=(2，2)且f(x)=
a
•
b
+2
①用“五点法”作出函数y=f（x）在长度为一个周期的闭区间的图象．
②求函数f（x）的最小正周期和单调增区间；
③求函数f（x）的最大值，并求出取得最大值时自变量x的取值集合
④函数f（x）的图象可以由函数y=sin2x（x∈R）的图象经过怎样的变换得到？
⑤当x∈[0，π]，求函数y=2sin(x-
π
4
)的值域
解：（1）列表
（2）作图
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