题目内容
【题目】已知椭圆
的一个焦点与抛物线
的焦点重合，且抛物线的准线被椭圆
截得的弦长为1，
是直线
上一点，过点
且与
垂直的直线交椭圆于
两点.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）设直线
的斜率分别为
，求证：成等差数列.
【答案】（1）
（2）见解析
【解析】
（1）根据弦长和焦点关系求解方程；
（2）设直线
的方程为
，联立直线与椭圆的方程，结合韦达定理分别计算
和
的关系即可得证.
解：
（1）抛物线
的焦点为
，准线方程为
.
又抛物线的准线被椭圆
截得的弦长为1，所以点
在椭圆上.
由
，解得
，
.故椭圆的标准方程为
（2）当直线的斜率不存在时，其方程为
，代入椭圆方程得
两点坐标为
、
，此时
，
.
∴
成等差数列.
当直线的斜率存在时，设
，直线的方程为，由
得
∴
，
直线
方程为
，则
，
，
，
.
，
.
∴
、
、
成等差数列，综上、、成等差数列.
方法二 设点
、
、
当
时，方程为，此时
，
，、、成等差数列
当
时，的斜率为
，方程为
，
由
得
∴
∴
∴、、成等差数列
综上、、成等差数列.
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