Question

【题目】已知矩形的长，宽，将其沿对角线折起，得到四面体，

如图所示，给出下列结论：

①四面体体积的最大值为；

②四面体外接球的表面积恒为定值；

③若分别为棱的中点，则恒有且；

④当二面角为直二面角时，直线所成角的余弦值为；

⑤当二面角的大小为时，棱的长为．

其中正确的结论有____________________(请写出所有正确结论的序号)

Answer 1

【答案】②③④

【解析】

对于①四面体体积最大为两个面互相垂直，四面体体积的最大值为，故不正确；②三棱锥外接球的半径为，所以三棱锥外接球的表面积为，②正确；③若为分别棱的中点，连接，则，根据等腰三角形三线合一得到，连接，容易判断，得到，所以，所以③正确；④二面角为直二面角时，以为原点所在直线分别为轴，则由向量的数量积可以得到直线所成角的余弦值为，所以④正确；

⑤当二面角的大小为时，棱的长为，在直角三角形中，

，作，则，同理直角三角形中，则，在平面内，过作，且，连接，易得四边形为矩形，则，又，即有为二面角的平面角，且为，即，由平面，得到，即有，则，故⑤错误，故答案为②③④.