Question

【题目】已知椭圆的左右焦点分别为，抛物线与椭圆有相同的焦点，且椭圆过点．

（I）求椭圆的标准方程；

（Ⅱ）若椭圆的右顶点为，直线交椭圆于两点（与点不重合），且满足，若点为中点，求直线斜率的最大值．

Answer 1

【答案】(Ⅰ)；(Ⅱ).

【解析】试题分析：

（Ⅰ）写出抛物线焦点坐标，得椭圆中，把点的坐标代入椭圆方程得与联立可解得，得椭圆方程；

（Ⅱ）设，设直线方程为，与椭圆方程联立消元后应用教研室可得，，用代可得F点坐标，计算中点P坐标，计算AP的斜率为，分子分母同时除以，并换元，得，由基本不等式可得最大值.

试题解析：

（Ⅰ）因为抛物线的焦点为，抛物线与椭圆C有相同的焦点

所以，又椭圆过点，所以 解得.

则椭圆的标准方程为；

（Ⅱ）设，

直线AE的方程为，代入椭圆方程，可得

由，可得，，

由于AE⊥AF，只要将上式的换为，可得，，

由P为EF的中点，得

则直线AP的斜率为，

当时，；当时，，

再令，可得，当时，；

当时，，

当且仅当时，取得最大值；

综上可得直线AP的斜率的最大值为．