Question

设a＜1，集合，，.

（1）求集合D（用区间表示）；

（2）求函数在D内的极值点．

 

Answer 1

【答案】

（1）i)当0<a<时，D＝A∩B＝(0，x₁)∪(x₂，＋∞)；

ii)当a≤0时，D＝(x₂，＋∞)．

（2）f(x)在D内单调递增．因此f(x)在D内没有极值点．

【解析】(1)解本小题的关键是令h(x)＝2x²－3(1＋a)x＋6a，根据Δ，然后根据a的值分类讨论，求出h(x)>0的解集，从而可确定D.

(2)先求出f′(x)＝6x²－6(1＋a)x＋6a＝6(x－1)(x－a),然后再根据(1)中a在不同取值下对应的D，确定f(x)的极值.

解：（1）x∈D⇔x>0且2x²－3(1＋a)x＋6a>0.

令h(x)＝2x²－3(1＋a)x＋6a，Δ．

①当<a<1时，Δ<0，所以∀x∈R，h(x)>0，所以B＝R.于是D＝A∩B＝A＝(0，＋∞)．

②当a＝时，Δ＝0，此时方程h(x)＝0有唯一解，x₁＝x₂＝＝＝1，

所以B＝(－∞，1)∪(1，＋∞)．于是D＝A∩B＝(0,1)∪(1，＋∞)．

③当a<时，Δ>0，此时方程h(x)＝0有两个不同的解x₁＝，x₂＝.

因为x₁<x₂且x₂>0，所以B＝(－∞，x₁)∪(x₂，＋∞)．

又因为x₁>0⇔a>0，所以

i)当0<a<时，D＝A∩B＝(0，x₁)∪(x₂，＋∞)；

ii)当a≤0时，D＝(x₂，＋∞)．

（2）f′(x)＝6x²－6(1＋a)x＋6a＝6(x－1)(x－a)．

当a<1时，f(x)在R上的单调性如下表：

①当<a<1时，D＝(0，＋∞).由表可得，x＝a为f(x)在D内的极大值点，x＝1为f(x)在D内的极小值点．

②当a＝时，D＝(0,1)∪(1，＋∞)．由表可得，x＝为f(x)在D内的极大值点．

③当0<a<时，D＝(0，x₁)∪(x₂，＋∞)．

因为x₁＝＝≥ [3＋3a－(3－5a)]＝2a>a且x₁<<1，

x₂＝＝>＝1，

所以a∈D,1∉D.

由表可得，x＝a为f(x)在D内的极大值点．

④当a≤0时，D＝(x₂，＋∞)且x₂>1.

由表可得，f(x)在D内单调递增．因此f(x)在D内没有极值点．