题目内容
（2012•广东）设a＜1，集合A={x∈R|x＞0}，B={x∈R|2x2-3（1+a）x+6a＞0}，D=A∩B．
（1）求集合D（用区间表示）；
（2）求函数f（x）=2x3-3（1+a）x2+6ax在D内的极值点．
（1）求集合D（用区间表示）；
（2）求函数f（x）=2x3-3（1+a）x2+6ax在D内的极值点．
分析：（1）根据方程2x2-3（1+a）x+6a=0的判别式讨论a的范围，求出相应D即可；
（2）由f'（x）=6x2-6（1+a）x+6a=0得x=1，a，然后根据（1）中讨论的a的取值范围分别求出函数极值即可．
（2）由f'（x）=6x2-6（1+a）x+6a=0得x=1，a，然后根据（1）中讨论的a的取值范围分别求出函数极值即可．
解答：解：（1）记h（x）=2x2-3（1+a）x+6a（a＜1）
△=9（1+a）2-48a=（3a-1）（3a-9）
当△＜0，即
＜a＜1，D=（0，+∞）
当0＜a≤
，D=(0，
)∪(
，+∞)
当a≤0，D=(
，+∞)
（2）由f'（x）=6x2-6（1+a）x+6a=0得x=1，a
①当
＜a＜1，f（x）在D内有一个极大值点a，有一个极小值点
②当0＜a≤
，∵h（1）=2-3（1+a）+6a=3a-1≤0
h（a）=2a2-3（1+a）a+6a=3a-a2＞0
∴1∉D，a∈D
∴f（x）在D内有一个极大值点a
③当a≤0，则a∉D
又∵h（1）=2-3（1+a）+6a=3a-1＜0
∴f（x）在D内有无极值点
△=9（1+a）2-48a=（3a-1）（3a-9）
当△＜0，即
| 1 |
| 3 |
当0＜a≤
| 1 |
| 3 |
3+3a-
| ||
| 4 |
3+3a+
| ||
| 4 |
当a≤0，D=(
3+3a+
| ||
| 4 |
（2）由f'（x）=6x2-6（1+a）x+6a=0得x=1，a
①当
| 1 |
| 3 |
②当0＜a≤
| 1 |
| 3 |
h（a）=2a2-3（1+a）a+6a=3a-a2＞0
∴1∉D，a∈D
∴f（x）在D内有一个极大值点a
③当a≤0，则a∉D
又∵h（1）=2-3（1+a）+6a=3a-1＜0
∴f（x）在D内有无极值点
点评：本题主要考查了一元二次不等式的解法，以及利用导数研究函数的极值，同时考查了计算能力和分类讨论的数学思想，属于中档题．
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