Question

（理数）（14分） 已知函数，．
（Ⅰ）设函数F(x)＝18f(x)－ [h(x)]，求F(x)的单调区间与极值；
（Ⅱ）设，解关于x的方程；
（Ⅲ）设，证明：．

Answer 1

（理数） 解：（Ⅰ），
．
令，得（舍去）．
当时．；当时，，
故当时，为增函数；当时，为减函数．
为的极大值点，且．………………………………4分
（Ⅱ）原方程可化为，即
……………6分

①当时，原方程有一解；
②当时，原方程有二解；…………8分
③当时，原方程有一解；
④当或时，原方程无解．……………………10分
（Ⅲ）由已知得，
．
设数列的前n项和为，且（）
从而有，当时，．
又
．
即对任意时，有，又因为，所以………14分．

略